సివిల్స్ ప్రిలిమ్స్ - 2015 ప్రత్యేకం : ఉచిత ఆన్ లైన్ శిక్షణ,5వ భాగం

సివిల్స్ ప్రిలిమ్స్ - 2015 ప్రత్యేకంలో ఇప్పటివరకు బేసిక్ న్యుమరసీలో నాలుగు భాగాలు చూశాము.ఇందులో గణితంలో సమస్యలు సాధించుటకు పలు సులభ పద్దతులు నేర్చుకున్నాం.5వ భాగంలో మరిన్ని సులభ పద్దతుల్లో సమస్యలు ఎలా సాధించాలో తెలుసుకుందాం.

మొదటి భాగం
రెండవ భాగం
మూడవ భాగం
నాలుగవ భాగం

కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం(క.సా.గు) - Least Common Multiple (LCM) :

"2 లేక అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య గుణిజాలలోని కనిష్ఠ సంఖ్యయే ఆ సంఖ్యల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం(క.సా.గు)".

ఇక్కడ తెలుసుకోవాల్సిన ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యల సామాన్య గుణిజాలలో కనిష్ఠ గుణిజం ఉంటుంది కాని గరిష్ఠ గుణిజం ఉండదు.

ఇచ్చిన సంఖ్యల క.సా.గు ఎలా కనుక్కోవాలో చూద్దాం ..

i). 8,12 ల క.సా.గు కనుగొందాం:

8  గుణిజాలు : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,88, 96 , ......
12 గుణిజాలు : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120  , .....

8, 12 ల ఉమ్మడి సామాన్య గుణిజాలు : 24, 48, 72, 96, ......
8,12 ల సామాన్య గుణిజాలలో కనిష్ఠ గుణిజం = 24. కాబట్టి 8, 12 ల క.సా.గు = 24

"రెండు దత్త సంఖ్యలలో ఒకటి,రెండవ దానికి గుణిజమైతే వాటిలో పెద్ద సంఖ్యే వాటి క.సా.గు అవుతుంది."
ఉదాహరణకు 8, 16 సంఖ్యల క.సా.గు 16 అవుతుంది. ఎందుకంటే 8,16 లు దత్త సంఖ్యలు.

"రెండు సంఖ్యలు పరస్పరం ప్రధాన సంఖ్యలు ఐతే వాటి లబ్ధమే వాటి క.సా.గు అవుతుంది."

ఉదాహరణకు 8,9 ల క.సా.గు 72. ఎందుకంటే 8, 9 లు ప్రధాన సంఖ్యలు,వీటి లబ్ధం 72.

రెండుకు మించి సంఖ్యల క.సా.గు కనుకొనడానికి ప్రధాన కారణాంకాలు,భాగహార పద్దతిలో సాధించవచ్చు.

   గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా) - Highest Common Factor (HCF) :

"రెండు సంఖ్యల సామాన్య కారణాంకాలలో మిక్కిలి పెద్దదానిని ఆ సంఖ్యల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం(గ.సా.భా) లేదా గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం(గ.సా.కా) అంటారు".

 ఉదాహరణకు 12, 24, 36 ల గ.సా.భా కనుగొందాం :
     మొదట ఇచ్చిన సంఖ్యల కారణాంకాలు రాయగా :
   12 యొక్క కారణాంకాలు : 1, 2, 3, 4, 6, 12 
   24 యొక్క కారణాంకాలు : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
   36 యొక్క కారణాంకాలు : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

 12, 24, 36 ల ఉమ్మడి కారణాంకాలు 1, 2, 3, 4, 6, 12. వీటిలో గరిష్టమైనది 12.
    కాబట్టి 12, 24, 36 ల గ.సా.భా = 12

ఇచ్చిన సంఖ్యల గ.సా.భా కనుక్కోవడానికి ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి,భాగహార పద్దతిలో ఉపయోగించి తెలుసుకోవచ్చు.

ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతిలో గ.సా.భా కనుక్కోవడానికి ఇచ్చిన సంఖ్యల ప్రధాన కారణాంకాలు కనుక్కొని వాటి ఉమ్మడి కారణాంకాల లబ్ధమే వాటి గ.సా.భా అవుతుంది.

భాగహార పద్దతిలో గ.సా.భా కనుక్కోవడానికి ఇచ్చిన సంఖ్యలలో మొదటి రెంటిని భాగించాలి.ఆ తరువాత మిగిలిన సంఖ్య,సంఖ్యలోని తరువాతి సంఖ్యతో భాగించగా చివరకు మిగిలిందే ఆ సంఖ్యల గ.సా.భా అవుతుంది.

క.సా.గు మరియు గ.సా.భా ల మధ్య సంబంధం :

రెండు సంఖ్యల లబ్దం, వాటి క.సా.గు, గ.సా.భా ల లబ్ధానికి సమానం.  

భిన్నాలు ఇచ్చినప్పుడు క.సా.గు మరియు గ.సా.భా కనుక్కోవడం :

i). గ.సా.భా =  లవముల యొక్క గ.సా.భా / హారముల యొక్క క.సా.గు 

ii). క.సా.గు = హారముల యొక్క క.సా.గు / లవముల యొక్క గ.సా.భా

iii). మొదటి సంఖ్య = (క.సా.గు x గ.సా.భా)/ రెండవ సంఖ్య

iv). క.సా.గు = ఇచ్చిన సంఖ్యల లబ్ధం / గ.సా.భా 

v). గ.సా.భా = ఇచ్చిన సంఖ్యల లబ్ధం / క.సా.గు

కొన్ని సందర్భాలలో చిన్న చిన్న కూడికలు,తీసివేతలు కూడా తప్పులు చేస్తుంటాం.ఆలాంటి సమస్యలు ఎలా సాధించాలో తెలుసుకుందాం..

ఉదాహరణకు 5+6*6-7-6+6*5/4+7 లాంటి సమస్య సాధించే క్రమంలో చాలా వరకు పొరబడడం సాధారణం.ఇలాంటి సందర్భాలలో BODMAS నియమం పాటిస్తే కచ్చితమైన సమాధానం వస్తుంది.

B - Bracket (బ్రాకెట్)
O - Of
D - Division (భాగహారం)
M - Multiplication (గుణకారం)
A - Addition (కూడిక)
S - Subtraction (తీసివేత)

కొన్ని ముఖ్యమైన సూత్రాలు :

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² - 2ab + b²

a² - b² = (a+b)(a-b)

(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)

(a+b)² - (a-b)² = 4ab

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - b³ - 3ab(a-b)

a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)

a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)

(a+b+c) = (a³ + b³ + c³ - 3abc) / (a² + b² + c² - ab - bc - ca)

పక్క బాక్స్ లో సబ్ స్క్రైబ్ చేసుకొని మీ inbox లోకి నేరుగా ఈలాంటి ఆర్టికల్ లు పొందండి.

తరువాతి భాగంలో మరిన్ని గణిత సమస్యలు,వాటికి సులభ పద్దతిలో సమాధానాలు తెలుసుకుందాం.