సివిల్స్ ప్రిలిమ్స్ - 2015 ప్రత్యేకం : ఉచిత ఆన్ లైన్ శిక్షణ,5వ భాగం

సివిల్స్ ప్రిలిమ్స్ - 2015 ప్రత్యేకంలో ఇప్పటివరకు బేసిక్ న్యుమరసీలో నాలుగు భాగాలు చూశాము.ఇందులో గణితంలో సమస్యలు సాధించుటకు పలు సులభ పద్దతులు నేర్చుకున్నాం.5వ భాగంలో మరిన్ని సులభ పద్దతుల్లో సమస్యలు ఎలా సాధించాలో తెలుసుకుందాం.

మొదటి భాగం
రెండవ భాగం
మూడవ భాగం
నాలుగవ భాగం

కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం(క.సా.గు) - Least Common Multiple (LCM) :

"2 లేక అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య గుణిజాలలోని కనిష్ఠ సంఖ్యయే ఆ సంఖ్యల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం(క.సా.గు)".

ఇక్కడ తెలుసుకోవాల్సిన ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యల సామాన్య గుణిజాలలో కనిష్ఠ గుణిజం ఉంటుంది కాని గరిష్ఠ గుణిజం ఉండదు.

ఇచ్చిన సంఖ్యల క.సా.గు ఎలా కనుక్కోవాలో చూద్దాం ..

i). 8,12 ల క.సా.గు కనుగొందాం:

8  గుణిజాలు : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,88, 96 , ......
12 గుణిజాలు : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120  , .....

8, 12 ల ఉమ్మడి సామాన్య గుణిజాలు : 24, 48, 72, 96, ......
8,12 ల సామాన్య గుణిజాలలో కనిష్ఠ గుణిజం = 24. కాబట్టి 8, 12 ల క.సా.గు = 24

"రెండు దత్త సంఖ్యలలో ఒకటి,రెండవ దానికి గుణిజమైతే వాటిలో పెద్ద సంఖ్యే వాటి క.సా.గు అవుతుంది."
ఉదాహరణకు 8, 16 సంఖ్యల క.సా.గు 16 అవుతుంది. ఎందుకంటే 8,16 లు దత్త సంఖ్యలు.

"రెండు సంఖ్యలు పరస్పరం ప్రధాన సంఖ్యలు ఐతే వాటి లబ్ధమే వాటి క.సా.గు అవుతుంది."

ఉదాహరణకు 8,9 ల క.సా.గు 72. ఎందుకంటే 8, 9 లు ప్రధాన సంఖ్యలు,వీటి లబ్ధం 72.

రెండుకు మించి సంఖ్యల క.సా.గు కనుకొనడానికి ప్రధాన కారణాంకాలు,భాగహార పద్దతిలో సాధించవచ్చు.

   గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా) - Highest Common Factor (HCF) :

"రెండు సంఖ్యల సామాన్య కారణాంకాలలో మిక్కిలి పెద్దదానిని ఆ సంఖ్యల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం(గ.సా.భా) లేదా గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం(గ.సా.కా) అంటారు".

 ఉదాహరణకు 12, 24, 36 ల గ.సా.భా కనుగొందాం :
     మొదట ఇచ్చిన సంఖ్యల కారణాంకాలు రాయగా :
   12 యొక్క కారణాంకాలు : 1, 2, 3, 4, 6, 12 
   24 యొక్క కారణాంకాలు : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
   36 యొక్క కారణాంకాలు : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

 12, 24, 36 ల ఉమ్మడి కారణాంకాలు 1, 2, 3, 4, 6, 12. వీటిలో గరిష్టమైనది 12.
    కాబట్టి 12, 24, 36 ల గ.సా.భా = 12

ఇచ్చిన సంఖ్యల గ.సా.భా కనుక్కోవడానికి ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి,భాగహార పద్దతిలో ఉపయోగించి తెలుసుకోవచ్చు.

ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతిలో గ.సా.భా కనుక్కోవడానికి ఇచ్చిన సంఖ్యల ప్రధాన కారణాంకాలు కనుక్కొని వాటి ఉమ్మడి కారణాంకాల లబ్ధమే వాటి గ.సా.భా అవుతుంది.

భాగహార పద్దతిలో గ.సా.భా కనుక్కోవడానికి ఇచ్చిన సంఖ్యలలో మొదటి రెంటిని భాగించాలి.ఆ తరువాత మిగిలిన సంఖ్య,సంఖ్యలోని తరువాతి సంఖ్యతో భాగించగా చివరకు మిగిలిందే ఆ సంఖ్యల గ.సా.భా అవుతుంది.

క.సా.గు మరియు గ.సా.భా ల మధ్య సంబంధం :

రెండు సంఖ్యల లబ్దం, వాటి క.సా.గు, గ.సా.భా ల లబ్ధానికి సమానం.  

భిన్నాలు ఇచ్చినప్పుడు క.సా.గు మరియు గ.సా.భా కనుక్కోవడం :

i). గ.సా.భా =  లవముల యొక్క గ.సా.భా / హారముల యొక్క క.సా.గు 

ii). క.సా.గు = హారముల యొక్క క.సా.గు / లవముల యొక్క గ.సా.భా

iii). మొదటి సంఖ్య = (క.సా.గు x గ.సా.భా)/ రెండవ సంఖ్య

iv). క.సా.గు = ఇచ్చిన సంఖ్యల లబ్ధం / గ.సా.భా 

v). గ.సా.భా = ఇచ్చిన సంఖ్యల లబ్ధం / క.సా.గు

కొన్ని సందర్భాలలో చిన్న చిన్న కూడికలు,తీసివేతలు కూడా తప్పులు చేస్తుంటాం.ఆలాంటి సమస్యలు ఎలా సాధించాలో తెలుసుకుందాం..

ఉదాహరణకు 5+6*6-7-6+6*5/4+7 లాంటి సమస్య సాధించే క్రమంలో చాలా వరకు పొరబడడం సాధారణం.ఇలాంటి సందర్భాలలో BODMAS నియమం పాటిస్తే కచ్చితమైన సమాధానం వస్తుంది.

B - Bracket (బ్రాకెట్)
O - Of
D - Division (భాగహారం)
M - Multiplication (గుణకారం)
A - Addition (కూడిక)
S - Subtraction (తీసివేత)

కొన్ని ముఖ్యమైన సూత్రాలు :

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² - 2ab + b²

a² - b² = (a+b)(a-b)

(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)

(a+b)² - (a-b)² = 4ab

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - b³ - 3ab(a-b)

a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)

a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)

(a+b+c) = (a³ + b³ + c³ - 3abc) / (a² + b² + c² - ab - bc - ca)

పక్క బాక్స్ లో సబ్ స్క్రైబ్ చేసుకొని మీ inbox లోకి నేరుగా ఈలాంటి ఆర్టికల్ లు పొందండి.

తరువాతి భాగంలో మరిన్ని గణిత సమస్యలు,వాటికి సులభ పద్దతిలో సమాధానాలు తెలుసుకుందాం.
                

Read more ...

సివిల్స్ ప్రిలిమ్స్- 2015 ప్రత్యేకం:ఉచిత ఆన్ లైన్ శిక్షణ-నాలుగవ భాగం

సివిల్స్ ప్రిలిమ్స్ - 2015 ప్రత్యేకంలో భాగంగా బేసిక్ న్యుమరసీ లో ఇప్పటివరకు మూడు భాగాలు చూశాం.గత మూడు భాగాలలో సులభమైన పద్దతిలో గణిత సమస్యలు ఎలా సాధించాలో పరిశీలించాం.
మొదటి భాగం 
రెండవ భాగం 
మూడవ భాగం 

నాలుగవ భాగంలో మరికొన్ని గణిత సమస్యలను సులభంగా ఎలా సాధించాలో నేర్చుకుందాం.

ఉదాహరణకు 5 x 5 , 15 x 15, 25 x 25, 35 x 35, 45 x 45, 55 x 55,etc  మొదలగు వాటిని గుణించాలంటే సులువైన పద్ధతి ఉంది.గుణించే రెండు సంఖ్యల్లో ఒకట్ల స్థానాల్లో 5 ఉమ్మడి అంకె. కాబట్టి మనకు వచ్చే సమాధానంలో చివరి నుండి రెండు స్థానాల్లో 25 వస్తుంది.ఇక పదుల స్థానంలో ఉండే అంకె కు ఒకటి కలిపి,ఆ అంకెను కలుపగా వచ్చిన అంకెను గుణించి తరువాతి స్థానంలో వేయగా వచ్చేదే సమాధానం.కొంచం గందరగోళంగా ఉండొచ్చు.ఉదాహరణ తో వివరణ చూద్దాం..

25 x 25 = ---- ?

i). 25 x 25 = ? 25 (5 x 5)

ii). 25 x 25 = 625 (2 x 3 = 6, ఆరు ఎలా వచ్చిందంటే 25 లోని రెండుకు ఒకటి కలిపితే 3 వస్తుంది.ఈ 3 ను 2 తో గుణించాలి.)

45 x 45 = ---- ?

i). 45 x 45 = ?? 25

ii). 45 x 45 = 2025( నాలుగుకు ఒకటి కలిపితే 5,ఈ 5 ను 4 చేత గుణించినా 20 వస్తుంది)

మీరు ప్రయత్నించండి 65 x 65, 75 x 75, etc

వర్గ మూలాలు :

 51 నుండి 59 వరకు గల సంఖ్యల వర్గ మూలాలు ఇలా తెలుసుకోవచ్చు .

51 నుండి 59 వరకు గల సంఖ్యల వర్గ మూలాలు కనుక్కోవాలంటే చాలా సులభమైన పద్ధతి తెలుసుకుందాం.

ఒక ఉదాహరణ ద్వారా సమస్యను సాధించి సమాధానం రాబట్టుదాం..

ఉదా: (51)² ---- ?

    ముందు 5 కు వర్గ మూలం కనుక్కొని దానికి ఒకటి కలిపి,ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న ఒకటికి వర్గమూలం 1 ని 01 గా 26 కు కలపాలి.ఇంకా వివరంగా చూద్దాం : 
             i). (51)² = 2601  (5² + 1 = 26 మరియు  01 కొరకు (1)² చేసి 01 గా రాయాలి.)
           ii). (52)² = 2704  (5² + 2 = 27 & 04 కొరకు 2² = 4 ను 04 రాస్తే సరిపోతుంది.)
          iii). (53)² = 2809 (5² + 3 = 28 & 09 కొరకు 3² = 9 ని 09 గా సమాధానానికి చేర్చాలి.)
          iv). (56)² = 3136  (5² + 6 = 31 & 36 కొరకు 6² = 36)
మిగతావి ప్రయత్నించండి

10^x దగ్గరగా ఉన్న సంఖ్యల వర్గ మూలాలకై :

ఉదా : (98)² =  ?
          (96)² = ?
          (102)² = ?
    i).(98)² = 9604 (ముందు 98 కి రెండు కలిపి మల్లీ 98 నుండి 2 తీసివేసి వచ్చే రెండు సంఖ్యలను గుణించి 2 యొక్క వర్గ మూలాన్ని కూడాలి.అంటే [(98+2 )*(98 - 2) + 2² = (100*96) + 4 = 9600 + 4]

   ii). (96)² = 9216 [  (96 + 4)(96 - 4) + 4² = 100*92 + 16 = 9200 +16 = 9216 ]
  iii). (102)² = 10404 [  (102 + 2 )(102 - 2 ) + 2² = 104*100 + 4 = 10400 +4 = 10404]
  iv). (993)² = 986049 [ (993 + 7)(993 - 7) + 7² = 1000 * 986 + 7² = 986000 + 49 = 986049]

ఘన మూలాలు : 

 మొదటి 10 ఘనమూలాలు తప్పక గుర్తుపెట్టుకోవాల్సిందే :

 1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64
5³ = 125
6³ = 216
7³ = 343
8³ = 512
9³ = 729
10³ = 1000

వర్గ మూలాలు కనుక్కోవడంలో కూడా సులువైన పద్ధతి ఉన్నప్పటికీ కొంచం కష్టంతరంగా ఉంటుంది.అర్థం చేసుకుంటే చాలా సులభం ఇవి కూడా 

ఉదాహరణకు 13 యొక్క వర్గ మూలం కనుక్కొందాం .

 i). (13)³ = ?
         వివరణ : 13 అనే సంఖ్యలో పదుల స్థానంలో 1 ఉంది.దీనికి ఘనమూలం 1 అవుతుంది.1 మరియు 3 ల నిష్పత్తి 1:3.కాబట్టి తరువాత  వచ్చే అంకె ఒకటి మూడొంతులు అనగా 3 వస్తుంది.తరువాత 9 ఆ తరువాత 27 వస్తుంది.
        మరింత వివరంగా : 1  3  9   27 ... ఇది మొదటి స్టెప్. తరువాతి స్టెప్ కోసం మధ్యలో ఉన్న అంకెలను రెట్టింపు చేసి వాటి కింద వేసి కూడితే సమాధానం వస్తుంది. మధ్యలో ఉన్న అంకెలు 3 మరియు 9. 3 కు రెట్టింపు చేస్తే 6 మరియు 9 కి రెట్టింపు 18.
                            
                               1      3     9      27 
                              +      6    18 
                         __   _1_  _²__   ²______________
                               2       1       9        7 

Please subscribe to our newsletter. You will get the latest news,articles straight to your e-mail box.

తరువాతి భాగంలో క.సా.గు , గ.సా.భా మరియు భిన్నాలు,దశాంశాల గురించి తెలుసుకుందాం.....

                          

Read more ...

ఉచిత స్టడీ మెటీరియల్ రెండవ భాగం : సివిల్స్ ప్రిలిమ్స్-2105

సివిల్స్ ప్రిలిమ్స్ లో బేసిక్ న్యుమరసీ విభాగం నుండి గత సంవత్సరం మొత్తం 18 ప్రశ్నలు అడగడం జరిగింది.ఈసారి కూడా 15 కు పైనే ప్రశ్నలు అడిగే అవకాశాలు లేకపోలేదు.

బేసిక్ న్యుమరసీ మొదటి భాగంలో సంఖ్యా సమితి గురించి తెలుసుకున్నాం.రెండవ భాగంలో భాగాహరంలో మెలుకువలు తెలుసుకుందాం.

ఇచ్చిన సంఖ్య ఏ అంకెతో భాగించబడుతుంది :

i. రెండుతో భాగించబడాలంటే :

 ఏదైనా ఒక సంఖ్య రెండు భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో '0' లేదా 'సరి సంఖ్య' ఉంటే ఆ సంఖ్య రెండు చేత భాగించబడుతుంది.

    Ex : 24, 36, 120, 178, ........

ii. మూడుతో భాగించబడాలంటే :

 ఇచ్చిన సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం 3చేత భాగించబడితే ఆ సంఖ్య మూడుతో భాగించబడుతుంది.

    Ex : 255 ... ఇందులో అంకెల మొత్తం = 2+5+5 = 12 
                       12 మూడు చేత నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

iii. నాలుగు చేత భాగించబడాలంటే :

 ఇచ్చిన సంఖ్యలోని చివరి రెండు స్థానాల్లో ఉన్న సంఖ్య, అంటే ఒకట్లు మరియు పదుల స్థానంలో ఉండే సంఖ్య 4 చేత భాగించబడినా లేక చివరి రెండు స్థానాల్లో సున్నాలు ఉన్నా ఆ సంఖ్య నాలుగు చేత భాగించబడుతుంది.
    Ex: 4528 అనే సంఖ్యలో 28 నాలుగు చేత భాగించబడుతుంది.కాబట్టి 4528 అనే సంఖ్య 4 చేత భాగించబడుతుంది.

iv. ఐదు చేత భాగించబడాలంటే : 

 ఇచ్చిన సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలో '5' లేదా '0' ఉంటే ఆ సంఖ్య 5 చేత భాగించబడుతుంది.

    Ex : 20, 2450, 155, 4565 etc

v. ఆరు చేత భాగించబడాలంటే :

 ఇచ్చిన సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 చేత భాగించబడినా లేక ఇచ్చిన సంఖ్య రెండు లేదా మూడు చేత భాగించబడినా ఆ సంఖ్య 6 చేత భాగించబడును.

   Ex: 8964 అనే సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం 8+9+6+4 = 27... 27 మూడు చేత భాగించబడుతుంది.

vi. ఎనిమిది చేత భాగించబడాలంటే :

  ఏదైనా సంఖ్య ఎనిమిది చేత భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్యలోని చివరి మూడు స్థానాల సంఖ్య 8 చేత భాగించబడి ఉండాలి లేదా చివరి మూడు స్థానాలు సున్నాలు అయినా ఉండాలి.

   Ex : 4384 సంఖ్యలో 384 ఎనిమిది చేత భాగించబడుతుంది,కాబట్టి 4384 సంఖ్య 8 చేత భాగించబడుతుంది.

vii. తొమ్మిది చేత భాగించబడాలంటే : 

  ఇచ్చిన సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం 9 చేత భాగించబడాలి.

   Ex : 4932 అనే సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 4+9+3+2 = 18.. 18 తొమ్మిది చేత భాగించబడుతుంది.

viii. 10 చేత భాగించబడాలంటే :

 ఇచ్చిన సంఖ్య 10 చేత భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో '0' ఉంటే సరిపోతుంది.

    Ex : 100, 2450,3980,etc

ix. 11 చేత భాగించబడాలంటే : 

 ఇచ్చిన సంఖ్యలోని సరి స్థానాల మొత్తం మరియు బేసి స్థానాల మొత్తం బేదం సున్నా అయినా లేక 11 చేత భాగించబడే సంఖ్య వచ్చినా ఆ సంఖ్య 11 చేత భాగించబడును.

   Ex :a . 939532 అనే సంఖ్య 11 చేత భాగించబడుతుంది.ఎలాగో చూద్దాం 
           939532  సంఖ్యలో సరి మరియు బేసి స్థానాల బేదం = 11 ([9+9+3]-[3+5+2])

          b. 1441 అనే సంఖ్య 11 చేత భాగించబడుతుంది. సరి స్థానాల మొత్తం 1+4=5 , బేసి స్థానాల మొత్తం 4+1=5.రెంటి బేధం సున్నా.

x. 7 చేత భాగించబడాలంటే :

 7 చేత భాగించాబడాలంటే ఎలాంటి మెళకువలు లేవు.కాకుంటే చిన్న లాజిక్ ఉంది.అది తెలుసుకుందాం.ఈ లాజిక్ తో  బహుళఐచ్చికప్రశ్నలు(Multiple Choice Questions) తొందరగా సాధించవచ్చు.

ఉదాహరణకు 112 అనే సంఖ్య 7 చేత భాగించబడుతుంది.అది ఏ విధంగా తెలుసుకోవచ్చో చూద్దాం.
112 అనే సంఖ్యను 11 మరియు 2 అనే రెండు భాగాలు చేసుకుందాం.2 ను రెండు చేత గుణించి 11 నుండి తీసివేస్తే 7 వస్తుంది.7 అనేది ఏడు చేత భాగించబడుతుంది.

మరో ఉదాహరణ చూద్దాం:3192 అనే సంఖ్య 7 చేత భాగించబడుతుంది.

ముందు 3192 ను 319 మరియు 2 గా రెండు భాగాలు చేసుకుందాం.
                 319 - 2 x 2 = 315
 315 ను రెండు భాగాలుగా విభజిస్తే 31 మరియు 5 
                31 - 5 x 2   = 21

చివరిగా 21 ఏడు చేత భాగించబడుతుంది.కాబట్టి 3192 అనే సంఖ్య 7 చేత భాగించబడుతుంది.

సివిల్స్ ప్రిలిమ్స్ బేసిక్ న్యుమరసీ మూడవ భాగంలో గుణకారంలో ఎలాంటి లాజిక్ లు ఉంటాయో తెలుసుకోవడంతో పాటు క.సా.గు , గా.సా.భా ఇంకా మరిన్ని అంశాల మీద మెటీరియల్ చూద్దాం. 

Read more ...